在信号分析与处置中，频谱分析是最重要的工具。FFT可以将时域信号切换至频域，以取得信号的频率结构、幅度、振幅等信息。该算法在理工科课程中都有讲解，众多的仪器或软件亦构建此功能。FFT简单且高效，涉及原理与用于注意事项也有一点好好学习。

01何为FFT对于模拟信号的频谱分析，首先得用于ADC（模拟数字转换器）展开取样，切换为受限序列x（n），其非零值长度为N，经DFT（线性傅立叶转换）才可转化成为频域。DFT转换式为：在上式中，N点序列的DFT必须展开N2次复数乘法和N（N－1）次复数乘法，运算量大。FFT是DFT的较慢算法，利用DFT运算中的对称性与周期性，将宽序列DFT分解成为短序列DFT之和。

最后运算量显著增加，使得FFT应用于更为普遍。1．1FFT基于的基本理论FFT基于一个基本理论：任何倒数的波形，都可以分解成为有所不同频率的正弦波形的变换。

FFT将取样获得的完整信号，转化成此信号所包括的正弦波信号的频率、幅度、振幅，为信号分析获取一个创意视觉。例如在日常生活中有用于到的AM（AmplitudeModulation，幅度调制）广播，其原理是将人的声音（频率大约20Hz至20kHz，称作调制波）调制到500kHz～1500kHz正弦波上（称作载波）中，载波的幅度随调制波的幅度变化。声音经这样调制后，可以传播得很远。

在AM的时域波形（波形电压随时间的变化曲线），载波与调制波特征容易反映，而在FFT后的幅频曲线中则一目了然。如下图为1000kHz载波、10kHz调制波的AM调制信号，时域信号经FFT后其频率能量经常出现在990kHz、1．01MHz频率处，合乎理论计算出来。

图1调制波10kHz、载波1000kHz的AM时域与频域曲线02FFT涉及科学知识现实生活中的模拟信号，大多都是倒数简单的，其频谱分量十分非常丰富。正如在数学中常量π，其现实值是个无理数。都只3．14来替代π时，计算出来值与现实值就不会有偏差。在用于FFT这个工具时，受限于取样时的频率Fs、取样点长度N、ADC的分辨率nbit等因素的制约，所获得的信息不会有所缺陷与误解。

2．1奈奎斯特区与波形混叠FFT分析结果中，不存在一个那奈奎斯特区的概念，其宽度为比特率的一半Fs／2，信号频谱被分为一个个连接的奈奎斯特区。日常信号分析中，大多关心的是1st奈奎斯特区的信号，即DC到Fs／2的频段。FFT所获得的信号频率信息，也是在1st奈奎斯特区内。

其他高奈奎斯特区频段的信号，不会以有所不同的方式混叠到1st奈奎斯特区：偶数奈奎斯特区会镜像后混叠到1st奈奎斯特区；奇数奈奎斯特区会频移后混叠到1st奈奎斯特区。如下图右图，假如原先模拟信号频谱段较宽，信号频段的仅次于频率小于比特率Fs。在比特率Fs下，信号频谱的A、B、C三部分区域，分别坐落于1st、2st、3st奈奎斯特区。那经FFT后：A部分信号本来就在1st奈奎斯特区，维持恒定；B部分频谱不会以Fs／2为镜像后混叠到1st奈奎斯特区；C部分频谱频偏Fs后混叠到1st奈奎斯特区。

这样在FFT的分析结果中，1st奈奎斯特区就不会重合了A、B、C三部分区域的信号。其他奈奎斯特区频率信号阻碍到须要分析的信号，就不会导致经常说道的波形混叠问题。

就单个频率信号而言，若完整信号的频率为｜±KFs±Fin｜（K为自然数），则经过FFT分析后，信号不会落到在1st奈奎斯特区的Fin频率处。图2奈奎斯特区投影与波形混叠这在时域上解读难于：在常用设备示波器的比特率划为100MSa／s，这时输出10MHz、90MHz、110MHz频率的信号，取样获得的波形是一样的，都为10MHz。

此时奈奎斯特区宽度为50MHz，信号90MHz坐落于2st奈奎斯特区，经Fs／s镜像后，为10MHz；信号110MHz坐落于3st奈奎斯特区，经频偏Fs后，亦为10MHz。在FFT后的数据中，这三个频率信号的频点都落在1st奈奎斯特区的10MHz一处。图3波形混叠时的时域芯片为了解决问题信号混叠问题，可以采行以下措施：提升模数转换器ADC的比特率Fs这非常把1st奈奎斯特区拉宽。

当符合Fs／2小于信号频段的仅次于频率Fin＿max时，大自然会现混叠。这是取样定理的非常简单实践中。在模数转换器前串入抗混叠滤波器抗混叠滤波器最少见的是低通滤波器，此滤波器可以将低于Fs／2的高阶奈奎斯特区频段信号波动掉，只保有待测量1st奈奎斯特区频段的信号。2．2FFT数据的物理意义长度为N的受限序列x（n），经FFT后得不会到N个复数，已完成了时域到频域的涅磐。

完整信号包括的各种正弦信号，不会转化成对应方位的复数：第一个复数，代表信号的直流分量。此复数的模值，为直流分量的N倍。

第二至第N／2个复数，代表着均匀分布频率间隔信号的特征。此复数的模，为此频率信号幅度的N／2倍；此复数的角度，为此频率信号的振幅。一个奈奎斯特区包括N／2个频率点，频率点的间隔称作频率分辨率：对上式稍加转换：频率分辨率的倒数，为可分析信号的周期：NTs即取样时间，可见FFT的频率分辨率，与其他参数牵涉到，只与取样时间长度有关。

第N／2＋1至第N个复数，从上文的奈奎斯特区由此可知，是1st奈奎斯特区的镜像，可以忽视。2．3频谱外泄与窗函数在利用FFT对ADC的动态性能评估中，为了增加不涉及因素对动态性能的影响，测试中一般拒绝给ADC较低噪电源、较低噪时钟，待测信号幅度尽可能相似且略低于ADC的输出量程，而待测信号的频率Fin也有拒绝：为啥频率要这样拒绝？将上式中的频率切换为周期就很好解读：TS＊N即为取样时间，取样时间恰好包括了n个整周期的待测信号。

这样挑选输出信号频率的原因，是FFT分析中配置文件收集到的数据，是完整倒数波形中的一段周期波形。既然波形是倒数的，那波形认同首尾相连的、开始点电压值相等起点处电压值的。若取样到的数据不是倒数的，则非常数据在首尾处有一个电压变异，电压变异在频域上就代表着很高的频率分量。

这些高频的频率分量混叠到1st奈奎斯特区时，就不会对原先信号的频谱导致阻碍，这也叫频谱外泄。在实际的信号分析中，待测信号的频率是很难事前原作的，这就更容易不会导致频谱外泄。为了减低这个影响，FFT重新加入了窗函数这个概念。

窗函数，只不过是一个权重系数，将有所不同方位的取样点，分别除以有所不同的系数。经过权重相加后，取样点就变为首尾相连的倒数波形了。

有所不同的窗函数，其权重曲线不一样，导致的影响就有所差异。举例hann窗的系数定义如下：其N＝64系数曲线与频谱如下：图4N＝64hann窗系数曲线与频谱曲线图5变换窗前后的信号波形2．41频谱图指标定义将FFT获得的各个频率点幅度，绘制成随频率变化的曲线，可以获得信号的频谱图。在原厂ADC的器件手册或性能评估方案中，不会有与性能涉及指标的定义。在众多指标中，以下几个尤为重要：信噪比SNR信号皆方根幅值与除前六个谐波与直流分量之外的所有频率分量皆方根和之比。

在只考虑到ADC的分析误差时，SNR只与ADC的位数涉及。信纳比SINAD信号皆方根振幅与出有直流分量之外的所有频谱分量皆方根和之比。

SINAD与SNR之间的差异只有前六个谐波分量含有的能量。总谐波杂讯THD信号皆方根与前六个谐波之和的皆方根值之比。

谐波的产生是因为信号经过了非线性环节，造成信号产生畸变。无杂散动态范围SFDR信号皆方根与仅次于杂散频谱分量皆方根值之比。SFDR可以密切相关信号分析的动态范围。

有效位数ENOBENOB体现了信号与正弦波的数值程度。在FFT中可以用于公式计算出来：ENOB＝（SINAD－1．76）／6．02。这公式是与基于ADC只有分析误差时的计算出来模型，明确的假设可以参照ADI的应用于文档MT－001《TakingtheMysteryoutoftheInfamousFormula，＂SNR＝6．02N＋1．76dB，＂andWhyYouShouldCare》。图6ZDS4054PlusFFT功能分析界面ZDS4000FFT分析功能可以自动计算出来总谐波杂讯THD、信噪比SNR，表明前10次高功率信号频率。

03小结FFT是简单而高效的分析工具，在众多的软件中都已很好的构建。在网络上非常简单搜寻一下例程，在Matlab软件中非常简单敲入fft（），才可做到信号分析。

而定远电子发售的高性能数据挖掘性示波器，FFT分析的样本数平均4Mpts，这使得示波器可以在最低比特率下，取样更加长时间的波形。这样在FFT后，数据的奈奎斯特区就非常长，而频率分辨率又非常较宽，十分限于信号分析与噪声定位。